Các hệ số của một chuỗi Taylor của một hàm phân thức bất kì thỏa phương trình hồi quy tuyến tính, phương trình này được tìm bằng cách đặt hàm phân thức bằng với chuỗi Taylor và gộp các số hạng đồng dạng với nhau.

Ví dụ

1 x 2 − x + 2 = ∑ k = 0 ∞ a k x k . {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}

Nhân hai vế với mẫu thức và phân phối

1 = ( x 2 − x + 2 ) ∑ k = 0 ∞ a k x k {\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}} 1 = ∑ k = 0 ∞ a k x k + 2 − ∑ k = 0 ∞ a k x k + 1 + 2 ∑ k = 0 ∞ a k x k . {\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}

Chỉnh lại chỉ số của tổng để được các số hạng có số mũ bằng nhau, ta có

1 = ∑ k = 2 ∞ a k − 2 x k − ∑ k = 1 ∞ a k − 1 x k + 2 ∑ k = 0 ∞ a k x k . {\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}

Gộp các số hạng đồng dạng với nhau

1 = 2 a 0 + ( 2 a 1 − a 0 ) x + ∑ k = 2 ∞ ( a k − 2 − a k − 1 + 2 a k ) x k . {\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.}

Do đẳng thức trên đúng với mọi x nằm trong bán kính hội tụ của chuỗi Taylor ban đầu, ta cho các hệ số bằng với nhau. Do số hạng không đổi của vế trái phải bằng vế phải, ta có

a 0 = 1 2 . {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}

Do không có số hạng có mũ nào ở bên trái nên các hệ số của chúng ở vế phải đều bằng 0, do đó

a 1 = 1 4 {\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}} a k = 1 2 ( a k − 1 − a k − 2 ) f o r   k ≥ 2. {\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad for\ k\geq 2.}

Ngược lại, một dãy số bất kì thỏa mãn một phương trình hồi quy tuyến tính nào đó sẽ xác định một hàm phân thức khi cho chúng làm các hệ số trong một chuỗi Taylor. Điều này rất hữu ích khi giải một phương trình hồi quy, vì bằng phương pháp đơn giản phân thức ta có thể viết một hàm phân thức bất kì dưới dạng tổng của các số hạng có dạng 1 / (ax + b).